L'esempio tipico di frattale viene rappresentato dalla curva di Von Kock, meglio conosciuto come il fiocco di neve di von Kock, la quale è intesa come una curva frattale di lunghezza infinita che delimita una superficie finita. La si costruisce a partire da un triangolo equilatero, tracciando, nel mezzo di ogni lato un triangolo equilatero tre volte più piccolo e ripetendo il procedimento all'infinito.

Come la curva a zig zag di Bolzano, la curva a fiocco di neve è continua ma non ha tangenti in nessun punto. La struttura grafico della curva di Kock risulta avere peculiarità simili ai bordi delle coste frastagliate della Scozia o i Fiordi della Norvegia. Simulando di misurare la lunghezza della curva di Kock, con l'utilizzo di un righello lungo un terzo della lunghezza dell'oggetto, vale a dire come tratto della spezzata disegnata all'interno della curva, nella figura in alto.

Come si vede, è contenuto ben quattro volte. Poi riduciamo a un terzo la lunghezza del righello, come nel disegno in basso. Poiché il righello si può inserire in un numero maggiore di nicchie della curva, misura una lunghezza maggiore (quattro terzi della precedente). Ripetendo il processo, ad ogni passo, si misura una lunghezza che è sempre nello stesso rapporto di 4 a 3 con la precedente. La dimensione frattale è definita come il rapporto tra il logaritmo di 4 e quello di 3, che genera un risultato di 1,2618.. Dal punto di vista dell'intuizione sembra giusto dire che la curva pieghettata, colma più spazio di quanto farebbe una retta unidimensionale, ma non riempie totalmente il piano dimensionale.

Tra le curve che assumono importante rilievo storico, senza dubbio non si può tralasciare le rappresentazioni di Julia36, in onore del matematico francese che per primo, dedicò tempo alla ricerca delle figure frattali. In analisi complessa l'insieme di Julia di una funzione olomorfa37 consiste di tutti quei punti il cui comportamento dopo ripetute iterazioni della funzione è caotico, nel senso che può cambiare drasticamente in seguito ad una piccola perturbazione iniziale. Il complementare dell'insieme di Julia nel piano si chiama insieme di Fatou38: è l'insieme dei punti il cui comportamento (sempre in seguito a ripetute iterazioni della funzione) è più stabile. La funzione olomorfa dipendente da un parametro complesso c è:

Pertanto, scomponendo la variabile Z e la costante C nelle sue due parti (reale ed immaginaria) era possibile tracciarne il grafico corrispondente sul piano complesso che ha come asse delle ascisse, l’asse reale e come asse delle ordinate quello immaginario. Nel momento della loro costruzione, Julia non disponeva di certo di un calcolatore con il quale elaborare diagrammi frattali, ma attualmente, con l'utilizzo di computer e software dedicati è possibile rappresentarli in maniera variabile in funzione del parametro complesso c.

Illustrazione 8 Insiemi di Julia semplice e complesso

La ricerca nel campo frattale intrapresa da matematici del XX Secolo, è stata ampia e molto coinvolgente. Sono stati molti i contributi offerti da pensatori allo sviluppo del tema riferito alle misure e configurazioni “bizzarre”; Tra i contribuenti, figura l'importante lavoro realizzato da Sierpinski39 matematico polacco, il quale si prodigò nello studio di insiemi di forme peculiari e strutture bizzarre che sono costituite dalla compressione di curve di lunghezza infinita all'interno di rappresentazioni finite. La figura sicuramente predominante, realizzata da Sierpinski è conosciuta come la “gerla di Sierpinski”.

La realizzazione della figura si ottiene da una misura base definita iniziatore: si parte dal raffigurare un triangolo nero detto iniziatore che promuove quindi la figura di base, secondariamente si aggiunte all'interno dell'iniziatore il generatore, di dimensioni ridotte pari alla metà dell'altezza e della lunghezza del triangolo iniziatore. Il generatore, riprodotto per ben tre volte all'interno del triangolo originario, permetterà di rappresentare il diagramma della gerla di Sierpinski

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[36] Gaston Maurice Julia (Sidi Bel Abbes, 3 febbraio 1893 – Parigi, 9 marzo 1978.) è stato un matematico francese, famoso per il suo lavoro pionieristico sui frattali. È uno dei pochi Pieds-noirs divenuti famosi per meriti scientifici. Il suo lavoro fu reso popolare da un altro matematico (francese di origine polacca) Benoit Mandelbrot. I frattali di Julia (chiamati curve di Julia) e di Mandelbrot sono strettamente legati

[37] Le funzioni olomorfe sono gli oggetti principali degli studi dell'analisi complessa;esse sono funzioni definite su un sottoinsieme aperto del piano dei numeri complessi C con valori in C che sono differenziabili in senso complesso in ogni punto del suo dominio.

[38] Pierre Joseph Louis Fatou (Lorient, 28 febbraio 1878 – Pornichet,10 agosto 1929) è stato un matematico francese. Egli è noto soprattutto per i suoi lavori nel campo dei sistemi dinamici e dell'analisi complessa.

[39] Wacław Franciszek Sierpiński (Varsavia 14 marzo 1882 – Varsavia, 21 ottobre 1969) è stato un matematico polacco. Fondatore della scuola matematica polacca, fra le più rilevanti al mondo, insieme a Stefan Banach e Kazimierz Kuratowski fu uno dei massimi matematici polacchi. Sierpinski è ampiamente conosciuto per i suoi importanti contributi nella teoria degli insiemi (ricerche sull'assioma della scelta e sulle ipotesi del continuo), nella teoria dei numeri, nella teoria delle funzioni e in topologia. Prendono il suo nome il numero di Sierpinski e il problema di Sierpinski ad essi associato. Scoperte matematiche e topologiche che portano il suo nome, rilevanti per gli studi successivi, sono anche ill triangolo di Sierpinski, il numero di Sierpinski, la curva di Sierpinski e lo spazio di Sierpinski.

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